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结构优化设计

归档日期:10-18       文本归类:变量化设计      文章编辑:爱尚语录

  第4章 无约束最优化方法 ? 单变量优化方法 ? 多变量优化方法 4.1 引言 约束最优化问题:具有辅助函数和形态约束条件的优 化问题。 无约束最优化问题:没有任何限制条件的优化问题。 工程实践中大多数问题都是具有约束的优化问题。 但在优化方法的处理上可以将有约束优化问题 转化为无约束最优化问题,然后按无约束方法进行 处理。或者是将有约束优化部分转化为无约束优化 问题,即在远离极值点和约束边界处按无约束来处 理,当接近极值点和约束边界时,在按有约束的优 化问题来处理。 因此无约束优化方法是优化方法的基本组成部 分,也是优化设计中较常用的方法。 迭代法主要解决两个问题: 如何选择一个最有利的搜索方向 S ( k ) 使目标函数沿此方向快速下降,且计算简便。 在搜索方向既定的前提下,如何确定沿此方向 迭代的最优步长 ? ( k ) 无约束最优化方法可以分为两类:直接法和间接法。 直接法又称数值方法,它只需计算目标函数诸点的函 数数值,而不需求其导数,如坐标轮换法,单纯性法 等。 间接法又称解析法,是应用数学极值理论和解析方法, 首先计算出目标函数的一阶或一阶、二阶导数,然后 根据梯度及海赛矩阵提供的信息,构造各种算法,从 而间接地求出目标函数的最优解,如牛顿法、最速下 降法、共轭梯度法及变尺度法。 在无约束优化问题中自变量(即设计变量)只有一个 的求极值问题,称为单变量优化问题,也称一维搜索。 它是无约束最优化方法的基础,有三种: 应用序列消去原理的直接迭代法,如分数法,黄金分 割法; 利用多项式逼近的曲线拟合法,如二次差值和三次差 值法等; 利用目标函数的一阶和二阶导数信息的间接寻优法, 如切线 单变量函数的最优化方法 1 黄金分割法(0.618法) 黄金分割法(0.618法)是一种应用序列消去原 理的直接法。它不需求函数的导数,不要求函数 连续,但除了要求函数存在极值外,还要求在极 值左、右二边函数是严格减少(或增加)和增加 (或减少)的,也就是说在搜索区间内函数为单 峰函数。 4.2 单变量函数的最优化方法 ? 0.618法的基本思路 在给定的初始搜索区间,适当选择一些点,比 较这些点上函数值的大小,逐步缩小搜索区间, 最后取小区间的平均值近似地作为函数的极值 点。 4.2 单变量函数的最优化方法 4.2 单变量函数的最优化方法 4.2 单变量函数的最优化方法 4.2 单变量函数的最优化方法 2 二次插值法 二次插值法是已知凸函数的三个点及对应的三个函数 值,利用二次插值的方法,建立一条插值曲线。当三个点 所在的区间被不断地缩小到某一小值时,插值曲线就可以 很逼近这个小区间原函数曲线。这时插值曲线极小点就可 以近似地作为原函数在这个小区间内的极小点。二次插值 法也称为抛物线法。 插值的目的在于构造一个曲线方程。直线简单,但容 易出现与原函数曲线过大偏差,因此一般采用二次或三次 插值曲线来逼近原函数曲线。插值法比较适于原函数比较 复杂的情形。 4.2 单变量函数的最优化方法 3.搜索初始区间的确定 4.2 单变量函数的最优化方法 4.2 多变量函数的最优化方法 上节讨论了只有一个自变量的无约束最优化 方法,本节研究自变量为两个或两个以上的 无约束极值问题,即多维问题。 无约束多变量函数的优化方法很多,只讨论 解析法(间接法)的梯度法、牛顿法、变尺 度法;数值方法的只讨论单纯形法。 4.2 多变量函数的最优化方法 1 梯度法 梯度法是求解无约束优化问题的一种最古 老、最基本的方法,最早于1847年由著名 数学家柯西(Cauchy)提出。 梯度法的基本思想是使函数沿它下降速度 最快的方向前进,逐步走向最优点,因而 又称最速下降法。 4.2 多变量函数的最优化方法 4.2 多变量函数的最优化方法 4.2 多变量函数的最优化方法 2 牛顿法 基本思路:一维情形相似,首先把高次函数近 似的简化为一个二次函数,因为二次函数的极值 点是比较容易求得的。二次函数的偏导数是线性 的,所以只须解一组线性方程即可得极值点。 ? 对二次函数只需经过一次迭代,而对高次函数, 因为经过简化近似,所以应继续迭代,直到达到 应有的精度为止。 4.2 多变量函数的最优化方法 4.2 多变量函数的最优化方法 4.2 多变量函数的最优化方法 4.2 多变量函数的最优化方法 3. 拟牛顿法 4.2 多变量函数的最优化方法 4.2 多变量函数的最优化方法 4.2 多变量函数的最优化方法 4.2 多变量函数的最优化方法 4.2 多变量函数的最优化方法 4.2 多变量函数的最优化方法 4.单纯形法 单纯形法与前面所述的不同,它不是沿某一方向进行搜 索,而是对n维空间的n+1个点(它们构成一个单纯性的 顶点)上的函数值进行比较,去掉其中最坏的点,代之 以新的顶点,新的点与前面余下的点由构成一个新的单 纯形。每次把坏的去掉,把好的留下来,这样逐渐调向 最优点。 单纯形的不同形成方法,就形成了各种单纯形法。 以 “正规单纯形法”为例加以说明。 所谓正规单纯形就是一个正四面体,如在平面上 就是一个正三角形,在空间上就是一个正四面体, 每一个面都是正三角形。在n维空间中正规单纯 形是由n+1个顶点组成,其中任意两个顶点的距 离都是相等的,而其去掉一个顶点后,留下的n 个顶点又构成一个n-1维正规单纯形。 其中a为单纯形边长 p? a n 2 ( n ? 1 ? n ? 1) q? a n 2 ( n ? 1 ? 1)

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