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离散变量结构优化设计(增定版)

归档日期:10-02       文本归类:变量化设计      文章编辑:爱尚语录

  爱问共享资料离散变量结构优化设计(增定版)文档免费下载,数万用户每天上传大量最新资料,数量累计超一个亿,大连理工大学教授学术丛书离散变量结构优化设计(增订版)孙焕纯柴山王跃方石连拴著大连理工大学出版社图书在版编目(CIP)数据离散变量结构优化设计/孙焕纯等著.—增订版.—大连:大连理工大学出版社,2002.6大连理工大学教授学术丛书ISBN7-5611-1129-0Ⅰ.离⋯Ⅱ.孙⋯Ⅲ.离散变量法-最优设计Ⅳ.TB21中国版本图书馆CIP数据核字(2001)第094434号大连理工大学出版社出版发行大连市凌水河邮政编码116024电话传线

  大连理工大学教授学术丛书 离散变量结构优化设计 (增订版) 孙焕纯 柴 山 王跃方 石连拴 著 大连理工大学出版社 图书在版编目(CIP)数据 离散变量结构优化设计/ 孙焕纯等著.—增订版. —大连: 大连理工大学出版社, 2002. 6 大连理工大学教授学术丛书 ISBN 7-5611-1129-0 Ⅰ. 离 ⋯ Ⅱ. 孙⋯ Ⅲ. 离散变量法-最优设计 Ⅳ. T B21 中国版本图书馆 CIP 数据核字( 2001)第 094434 号 大连理工大学出版社出版发行 大连市凌水河 邮政编码 116024 电话: 传真: E-mail : dutp@mail . dlptt. ln. cn U RL : http: ∥大连海事大学印刷厂印刷 开本 : 850毫米× 1168毫米 1/ 32 字数 : 343千字 印张: 13. 75 插页 : 4 印数 : 3001—4000 册 1995 年 10 月第 1版 2002年 6 月第 2 版 2002 年 6 月第 2 次印刷 责任编辑 :韩 露 责任校对: 文 舫 封面设计: 孙宝福 定价: 30. 00元 The Professors Academic Works Series of the Dalian University of Technology Discrete Optimum Design of Structures Sun Huanchun Chai Shan Wang Yuefang Shi L ianshuan Dalian University of Technology Press 本书由 国家自然科学基金10002005项目 大 连 市 人 民 政 府 大连理工大学学术著作出版基金 山东省自然科学基金L2000A01项目 天津市教委20010210科学基金项目 资助出版 The Ypublished book is sponsored by Th ?e National Natural Science Foundation of China 10002005 item The Dalian Municipal Government Th ?e Publishing Academic Works Foundation of the Dalian University of Technology Th ?e Natural Science Foundation of Shandong Province L 2000A01 item and Th ?e Science Foundation of Tianj in Education Commission 20010210 item 增订版序言 大连理工大学工程力学系博士生导师孙焕纯教授率他 的学生柴山、王跃方、石连拴所著的《离散变量结构优化设 计》的专著, 其令人赞赏之处, 首先在于孙焕纯教授以力学 研究服务于工程的信念, 二十年如一日,锲而不舍, 啃着“离 散变量结构优化”这个硬骨头,终于做出系统的研究成果。 由于工程结构设计中变量的离散性, 使优化设计的数 学规划模型面临“组合爆炸”的计算困难, 令人视为畏途。但 作者却理论联系实际, 提出了独创的思想和算法。他们建立 了各个层次的离散变量结构优化设计的数学模型, 先后提 出了离散变量结构截面优化的 (0, 1)规划、( 0, 1, 2)规划、 ( 0, 1, 2, 3)规划和多值规划及求解的定界组合算法和相对 差商法, 以及形状、拓扑、布局(包括支座布置 )等优化设计 的序列多重两级算法和序列综合两级算法。尤为可贵的是, 这些方法充分考虑到了工程上的应用要求: 算法可以满足 工作规范的规定, 可以容纳相当多的约束条件,可以处理多 种工程结构和结构材料, 可以分析多种类型的荷载等。书中 介绍的一些方法已成功地应用于工程实际中, 取得了很好 的效果。 总之, 作者克服了“组合爆炸”的计算困难, 取得了理 论、方法、程序及应用等系列成果, 可用于工程结构的截面、 形状、拓扑、布局优化等多层次优化问题, 使离散变量结构 优化设计改变了它一向被视为畏途的看法, 实为可喜。 该专著是反映了数学规划研究领域中理论服务于工程 实际的优秀著作, 希望这些工作得以推广应用,取得更大的 成果和效益。 2001. 10. 10 ·2· 离散变量结构优化设计 前 言 本书是作者 20 年来关于离散变量结构优化设计研究 成果的系统归纳和总结。作者于 1985年曾写过一本离散变 量结构优化设计的讲义用于教学。在该讲义中除了当时的 部分研究成果外, 还收入了已有的前人的研究成果, 例如 Gomory 的割平面法、Dakin 所改进的分支定界法、Balas的 ( 0, 1)规划的加法、动态规划法以及 T empleman 对桁架结 构的多节杆线性规划法和隋允康所改进的 T empleman 的 多节杆线性规划法等等。随着时间的推移和工作的广泛、深 入开展, 内容也逐渐丰富起来。在编写本书时,考虑到前述 诸方法在过去许多著作的个别章节中已有阐述, 读者也不 难查到, 故将这些内容全部删除了,以免内容冗长。 作者对离散变量结构优化设计的主要贡献和本书的特 点是: ①将非线性结构优化设计问题转化为线)规划 问题。采用二进制的一种隐枚举算法和定界组合算法求解, 大大地减少了组合次数。②利用结构优化设计在大多数情 况下目标函数和约束函数关于设计变量的单调性提出了相 对差商法, 大大地加快了解的收敛速度, 提高了解的稳定 性。③将相对差商法和多有效约束凝聚为单约束的方法相 结合,提出了一种近似算法,将组合数降到 n以下, 并给出 了误差估计的公式。当误差超过工程允许的范围时,又给出 了 0阶修正和 1阶修正算法。④提出了求解(0, 1, 2)规划问 题的定界组合算法, 为离散变量结构优化设计提供了一种 高效的算法。该法可求得问题的局部最优解,解决了启发式 算法的解是否是局部最优解的判定问题。⑤对离散变量结 构截面(或尺寸)优化问题多值规划定界组合算法, 有时可 比现有方法得到更优的解, 不过计算量大一些。⑥对离散变 量结构形状、拓扑和布局优化问题先后给出了两类算法,第 一类是序列多重二级算法, 将不同类型的设计变量分级处 理, 以减少解题规模和求解难度, 提高了效率; 第二类是序 列综合算法,对形状优化将两类变量(截面和坐标)同时处 理, 对拓扑优化将两类变量(截面和拓扑)同时处理,对布局 优化则分级交替进行形状和拓扑优化。第二类算法充分考 虑了两类变量的耦合影响, 比第一类方法得到更优的解(包 括新的拓扑解) , 只是工作量要大一些, 从研究中得到了若 干有价值的结论 (见本书绪论)。⑦所提出的优化数学模型 符合工程设计规范的所有要求,适用于工程结构的优化设 计。⑧利用静定化假设求得的超静定结构优化问题的解,一 般地说, 不是结构优化原问题的解,不论采用什么方法。 本书初版第 1 章由孙焕纯执笔, 第 2 至第 5 章由柴山 执笔, 第 6 至第 9 章由王跃方执笔,最后由孙焕纯统稿。书 稿由隋允康教授(博士生导师)初审, 程耿东教授(中国科学 院院士)二审,钟万勰教授(中国科学院院士)也审阅了书稿 并作序, 他们对本书提出了许多宝贵意见,本书的出版又得 到了钱令希院士的热情支持和鼓励, 在此向他们表示崇高 的敬意和深深的谢意。 本书增订版在初版的 3~ 8 章中增加了以下几节: 3. 1. 6, 4. 5, 5. 6(初版中的 5. 6~5. 8顺次改为 5. 7~5. 9) , 5. 10, 6. 3(初版中的 6. 3改为 6. 2. 5), 6. 4,

  7. 4, 7. 5(初版 中的 7. 4改为 7. 6) , 8. 4, 8. 5和附录。前言、绪论和 5. 9. 1, ·4· 离散变量结构优化设计 5. 9. 2由孙焕纯执笔修改; 3. 1. 6 和附录由柴山执笔; 4. 5, 5. 6, 5. 10, 6. 3, 6. 4, 7. 4, 7. 5和 8. 5由石连拴执笔; 8. 4由 王跃方执笔。最后由孙焕纯统稿并对初版中的一些错误予 以纠正。另有毛生根、陈勤、许强三位同志也为本书的出版 做了许多工作, 一并表示谢意。 增订版经中科院资深院士钱令希教授审查和作序, 并 推荐出版, 谨向他致以衷心的感谢。 另蒙李兴斯教授(博士生导师)的审阅和推荐出版, 也 向他表示深深的谢意。 由于水平所限,本书两版中的论述难免有所疏漏和失 误, 敬希各位专家和读者不吝赐教。 著 者 2001. 9 ·5·前 言 初版序言 结构优化设计的理论和方法近 30年来得到迅速的发 展, 但大多数的研究都是针对连续变量的,尚未见到有离散 变量结构优化设计的专著问世。离散变量结构优化设计需 要采用组合最优化的理论和方法, 而组合最优化问题属 NP 完全类问题,其求解算法则属 NP 困难问题。设变量数 为 n,许用离散集合元素数为 m, 则可能的组合数为 mn, 当 m,n较大时, 计算工作量急剧增加, 无法承受。迄今为止, 对截面优化来说, 所采用的方法有隐枚举法、割平面法、分 支定界法、(0, 1)规划的巴拉斯 (Balas)法、动态规划法等。 这些算法的优点是对约束函数为设计变量的显函数问题 (静定问题)可以求得问题的精确解, 但解题的规模较小;而 连续变量优化解的圆整法, 优点是可以利用连续变量的优 化理论和方法,但不足之处是得到的不是离散变量的最优 解, 有时可能相差较大。近年来发展的遗传算法(GA ) ,虽有 可能求得问题的最优解, 但是结构重分析次数太多;还有模 拟退火法( Simulated Annealing), 主要缺点也是工作量太 大。另外一些方法也不够令人满意。 对离散变量结构截面优化设计这个最基本的问题, 本 书采用序列( 0, 1)和 ( 0, 1, 2)规划法, 分别将 mn组合数化 为 2n和 3n组合数, 分别应用二进制算法、定界组合算法和 两级定界组合算法, 大大地减少了组合次数。算例表明通常 的组合数在 n2 以下, 优于分支定界法和巴拉斯的算法, 且 在优化过程中无需求解数学规划的方程。值得指出的是,作 者提出了一种近似算法, 利用相对差商法(同时考虑目标函 数和约束函数的变化趋势)和结构优化设计在多数情况下 目标函数和约束函数关于设计变量的单调性, 并将多约束 化为单约束, 求得问题的近似解。此外,该算法还可给出近 似解的误差估计, 当误差较大时可进行逐阶修正,其组合次 数最多为 n2。通过对几千个随机选择样本的计算结果进行 的性能统计分析, 表明本法是有效的, 计算精度是较高的。 另外,本法即使对于目标函数和约束函数不满足关于设计 变量的单调性要求的问题, 仍然具有一定的使用价值, 对 100 个随机选择的算例,只有一个用本法是无效的。因此, 本法是离散变量结构优化设计的一个重要进展。 由于离散变量结构截面优化设计方法的限制, 关于离 散变量结构的形状优化、拓扑优化和布局优化等方面的国 际、国内文献就更少了。作者采用序列多重两级优化方法处 理了这些问题,对离散变量结构的截面优化、形状优化、拓 扑优化和布局优化等, 均已提出了有效的算法,值得一读。 本书的另外几个特点是: 理论结合实际,优化模型考虑 了规范规定的各种约束条件, 并做了若干工程实例,可以进 行各种结构的优化设计, 如桁架、框架、板架、网架、排架、板 壳等结构或混合结构。组成结构的材料可以是钢、钢筋混凝 土或其他材料等。 本书是作者 15 年来研究成果的系统归纳和总结,在离 散变量结构优化设计这一领域, 取得了重要的进展。希望这 些工作得以推广应用, 取得丰硕的成果和效益。 钟万勰 1995. 5 ·8· 离散变量结构优化设计 目 录 增订版序言 前言 初版序言 第 1 章 绪论 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1. 1 结构优化设计的发展概况 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1. 2 离散变量结构优化设计的发展概况 5⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1. 3 本书的离散变量结构优化设计方法概述 11⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1. 4 离散变量结构优化设计发展的展望 15⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 第 2 章 预备知识 17⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2. 1 集合的概念及运算 17⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2. 2 离散变量和离散集的概念 24⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2. 3 离散变量优化问题的可行集与最优解 29⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 第 3 章 离散变量结构优化设计的数学模型及其特点 31⋯⋯⋯ 3. 1 离散变量结构优化设计的数学模型 31⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3. 2 离散变量结构优化设计的特点 53⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 第 4 章 离散变量结构优化设计的搜索算法 59⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4. 1 斐波那契(F ibonacci)法 59⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4. 2 一维搜索算法 69⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4. 3 序列两级算法 73⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4. 4 相对差商法 95⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4. 5 ?考虑动应力、动位移约束的 离散变量结构优化设计 132⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 第 5 章 离散变量结构优化设计的组合算法 144⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5. 1 组合算法概论 144⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5. 2 ( 0, 1)规划的定界组合算法 146⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5. 3 ( 0, 1)规划的二进制算法 159⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5. 4 ( 0, 1)规划的相对差商法 164⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5. 5 ( 0, 1, 2)规划的两级定界组合算法 177⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5. 6 离散变量优化设计多值序列规划定界组合算法 186⋯⋯ 5. 7 线性整数规划的组合算法 200⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5. 8 离散变量结构优化设计的( 0, 1)规划法 205⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5. 9 ?离散变量结构优化设计的( 0, 1, 2)、 ( 0, 1, 2, 3)规划法 228⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5. 10 离散变量结构优化设计序列定界组合算法 235⋯⋯⋯⋯ 第 6 章 离散变量结构形状优化设计 248⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6. 1 引言 248⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6. 2 离散变量桁架结构形状优化的序列两级算法 250⋯⋯⋯ 6. 3 离散变量结构形状优化设计的综合算法 264⋯⋯⋯⋯⋯ 6. 4 ?具有动应力和动位移约束的离散变量结构 形状优化设计方法 281⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 第 7 章 离散变量结构拓扑优化设计 295⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7. 1 引言 295⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7. 2 离散变量结构拓扑优化的基本问题 297⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7. 3 离散变量桁架的拓扑优化方法 307⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7. 4 ?包含两类变量的离散变量桁架结构 拓扑优化设计 315⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7. 5 ?具有动应力和动位移约束的离散变量结构 拓扑优化设计方法 335⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7. 6 离散变量刚架的拓扑优化方法 350⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ·01· 离散变量结构优化设计 第 8 章 离散变量结构布局优化设计 358⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8. 1 引言 358⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

  、桥墩、墩台、上部结构、引桥等)、材料供应、运输条件 等。看来这一最高层次的优化设计只有靠具备专门工程理论知识 和经验进行分析、判断、决策的专家系统了。 1. 1. 2 结构优化设计的分类与层次 [ 1, 2] 结构优化设计,按设计变量性质分, 有连续变量优化设计和离 散变量优化设计。其中连续变量优化还有分布参数(设计变量是坐 标的连续函数)优化和离散 (设计变量本身是连续变化的)参数优 化; 按易难的层次分, 有截面(或尺寸)优化、形状优化、拓扑优化、 布局优化和类型优化。 1. 1. 3 结构优化设计的发展概况 [ 3, 4] 优化设计理论与方法的发展已有 30余年了。至 1993 年的统 计 [ 4]已有专著 150余部, 论文 2500余篇, 综述性文章 50篇。这些 书和论文中绝大部分是关于连续变量优化设计的, 而关于离散变 ·2· 离散变量结构优化设计 量结构优化设计的专著极少见到, 在我国只有一本工程离散变量 优化设计的专著 [ 5] , 其中结构优化设计的内容很少, 而且都是一些 小规模的问题,国际性论文约百篇。在连续变量优化设计中, 截面 (或尺寸)优化已趋成熟,形状优化有一些论文发表, 但尚不成熟; 拓扑优化的论文较少, 布局优化的论文更少、更不成熟;类型优化 几乎没有。采用的方法很多,主要有准则法和规划法两大类。离散 变量优化设计发展缓慢, 截面(或尺寸)优化对稍大规模的问题尚 缺少有效的方法。至于形状优化、拓扑优化和布局优化则少得多, 而且都不够成熟。采用的方法可分为三大类:①精确算法, 即可以 求得全局最优解的方法,如枚举法、隐枚举法、高茂利(Gomory)的 割平面法 [ 6, 7]、达金 ( Dakin) 的改进的分支定界法 [ 8] 和 巴拉斯 ( Balas)法 (亦称加法) [ 9, 10]、动态规划法[ 11] 等;②近似算法, 即可以 求得可行解,且可以估计其与全局最优解的最大误差的算法, 如一 维装箱问题的首次适合的 FF 算法;③启发式算法, 即可以求得可 行解,但无法估计其与全局最优解的最大误差的算法, 这种算法较 多,将在后文叙述。 结构优化设计的应用情况。30 年来结构优化设计的发展偏重 于理论和方法的研究,在应用方面也有相应的软件系统的开发, 如 Schmit 的 A ccess 系统 [ 12]和钱令希等人的 DDDU 系统 [ 13]等。但是 总体说来,实际应用却远远落后于理论, 目前国内外应用优化设计 的主要是飞机结构,国内对输电塔和拱坝也有一些应用, 至于其他 结构,如船舶、车辆、土建结构等则应用很少, 究其原因有: (1)优化的数学模型不符合设计规范的要求, 例如:拉、压许用 应力,采用相同的数值, 只差一个正负号,而不考虑失稳条件; 强度 计算公式, 规范中规定有不少系数, 一般优化模型则根本不予考 虑; 工程实际中结构构件的尺寸大都是离散量, 而不是连续量, 例 如型钢必须符合既定规格的要求, 钢筋混凝土构件截面尺寸必须 满足建筑模数制的要求等。离散变量优化设计的理论和方法尚不 ·3·第 1章 绪 论 够完善和有效, 原因是离散变量优化设计与连续变量优化设计相 比,在理论上发生了两个质的转化, 一是可微优化转化为不可微优 化;二是可行域转化为可行集。这就给离散变量优化设计带来了很 大的困难,解析的数学工具显得无能为力, 必须采用离散的组合数 学工具, 而组合数学迄今为止尚缺乏快速、有效的计算方法, 因为 离散变量结构优化问题实质是组合最优化的 NP 困难问题 [ 14]。 (2)缺少为工程师所乐于接受的软件系统(如有效的前后处理 系统、自动绘图、自动完成计算说明书等)。 (3)一些设计工程师对优化设计的理论和方法不熟悉, 不完全 了解优化设计对工程设计的作用和意义。有人甚至存在误解, 认为 优化设计是用尽材料的潜力,是不安全的, 有的人常常要求在优化 设计中包括施工、运输、材料、工资、管理费用等各方面的因素。 (4)优化设计对概念设计, 特别是对前述的结构类型的选择这 一最高层次的优化设计目前是无能为力的, 仍然需要依靠设计工 程师的理论知识和工程设计实际经验来完成。这一课题尚待进一 步的研究,需要发展专家系统来解决。优化设计对结构类型的选择 所能起到的作用, 只有根据专家系统最终确定出的二三个结构类 型,对其逐个地进行布局优化比较, 为工程师提供最后所应选择的 结构类型的参考数据。 (5)设计工程师对一些常用的结构类型, 凭其多年的设计经验 可以设计出基本符合优化设计标准的结构, 所以不愿意采用优化 设计;另有一部分设计工程师为图省事, 只用传统设计方法进行设 计,不愿多花精力于优化设计, 只满足于工程结构不出现事故。 这种应用落后于理论的现象也是科学发展的一般规律。因为 科学理论的发展和完善是一个过程,应用更是一个过程, 这两个过 程是相辅相成的。发展理论的目的是为了应用, 应用需要理论依据 和指导,反过来应用中又会发现理论的不足或缺陷, 更进一步推动 理论的发展。要想使优化设计的理论和方法更多更好地应用于工 ·4· 离散变量结构优化设计 程实际,一方面需要理论工作者从工程实际中提出优化模型, 给出 解法, 编制出自动化的计算机程序; 另一方面, 设计工程师需要了 解、掌握优化设计的理论和方法, 并应用于实际。所以只有理论工 作者和设计工程师密切合作, 才能使优化设计更广泛地应用于工 程实际,才能设计出优化理论与工程实际完美统一的工程结构。 1. 2 离散变量结构优化设计的 发展概况 [ 15] 1. 2. 1 离散变量结构优化设计的特点和难点 离散变量优化设计的最基本的特点就是设计变量的离散性, 由此导致其数学模型中的目标函数和约束函数的不连续性, 从而 将连续变量优化的数学模型转化为不可微的, 可行域转化为可行 集, 连续变量优化中的许多有效的解析数学算法和优越条件失去 了意义,如各种梯度算法中的敏度分析法、K -T 条件, 等等。这样, 离散变量优化的数学模型必然是一非凸规划, 从而各种对偶算法 也大大地失去了其有效性,因为对偶间隙无法估计。 离散变量优化设计的难点在于: 解析的数学工具显得力所难 及,必须采用组合数学方法, 而离散变量结构优化设计的问题在组 合优化数学中属 NP 困难问题 [ 14, 16]。设以设计变量数 n表示规模 的参数,则表示一种算法计算量的时间复杂性函数 f (n)有两类: f 1(n) = ∑ m i= 1 cini, f 2(n) = ∑ m i= 1 eiin, 这里的 ci, ei皆为有界常数。f 1(n) 称为多项式时间函数, f 2( n) 称为指数时间函数。当 f 1 (n) = f 1, 1(n)= c1n时, 计算量与设计变量数成比例; f 1(n) = f 1, 2(n) = c2n2 时, 计算量按 n2 增长, 很容易理解在多项式时间算法中计算 ·5·第 1章 绪 论 量按设计变量数的幂次增长;而在指数时间算法中, 计算工作量是 按某一自然数(例如 2或 3等)的 n指数增长。一般来说指数时间 算法比多项式时间算法的工作量大, 甚至大得多。例如f 2, 2(n) = e22nmc2n2= f 1, 2(n) (当然 c2, e2 皆是同阶常量, 当 n较大时, 例如 n= 20就是这样) ,在离散变量结构优化设计中, 如果许用离散集的 元素数为 m, 设计变量数为 n, 则组合数为 mn, 当 m, n稍大时, 其 组合数就大得惊人。如当 m= 3,n= 10 时,组合数为 59049,当 n= 20时, 则组合数为 3 486784 401, 组合数随 m, n的这种急剧增长, 通常称之为“组合爆炸”。在离散变量结构优化设计中 m通常达几 十,n达到 20~30也只能算是中等规模的问题。对这样的组合优 化问题,根本无法求得其全局最优解, 即使求

  其局部最优解也是困 难的。为此人们常常设法寻求近似的指数时间算法或者更好的近 似的多项式时间算法。 离散变量结构优化设计的工程意义是很明显的, 前面谈及迄 今为止结构优化设计实际应用较少的原因之一, 就是现有的大多 数优化设计用的是连续变量,这不符合工程实际需求。而且连续变 量优化解常常与离散变量优化解有较大的差异。 根据多年的研究实践表明,我们所采用的结构优化设计的算 法(后文叙述) ,在求解过程中有两个明显的优点: 一是没有振荡现 象;二是当许用离散集元素的间距稍大时解的稳定性更好, 而且收 敛很快。 1. 2. 2 离散变量结构优化设计的方法评述 本书主要是阐述离散变量优化理论、方法和应用的, 所以将过 去的大量有关连续变量的优化理论和方法都一概省略了, 因为有 关连续优化设计的文献和书籍已经很多了。过去用连续变量优化 方法解离散变量优化设计问题, 通常都是将离散集中的许多截面 几何性质的参数(如型钢的 A , I , W)采用统计回归分析方法表示 ·6· 离散变量结构优化设计 为近似的连续函数(如 A = aI b, W= cI d , a, b, c, d 是由回归分析得 到的已知参数) [ 3] ,然后将得到的连续最优解向靠近该值的较大的 离散集元素圆整,或者对一个单元只有一个设计变量的问题, 如桁 架结构优化问题, 直接将连续最优解向上圆整为离散集中的离散 值。这种做法一般来说并不能得到真正的离散最优解。 前面已经谈到离散变量优化设计的三大类方法。现在将对这 三大类方法中的许多具体方法的各自优缺点进行评述。精确算法 中的枚举法、隐枚举法、割平面法、分支定界法、动态规划法和( 0, 1)规划的巴拉斯方法等的共同优点, 是对约束函数为设计变量的 显函数问题(如静定问题)可以求得全局最优解。共同的缺点是只 能解小规模,最多是解中等规模的问题(如分支定界法和一些隐枚 举法等) , 其中枚举法效率最低,其次是割平面法和动态规划法, 各 种隐枚举法、分支定界法和巴拉斯法则相对好些, 但设计变量数只 能在 20~30。 坦泼曼(T empleman)和叶茨(Y ates) [ 17, 18]于 1983年对桁架的 离散变量优化问题提出了将离散变量优化问题转化为连续变量优 化问题的解法。该法针对桁架结构,将一根杆化成多节单元, 单元 数等于许用离散集元素数,各单元的面积取为离散集元素所对应 的已知面积,而将各单元长度作为设计变量, 将离散变量优化问题 转化成关于单元长度的连续变量的线性规划问题, 解线性规划的 单纯形法也属于指数时间算法。该法近似于精确算法, 优点是降低 了求解难度,缺点是当离散集较多时, 设计变量数按照许用离散集 元素的个数的倍数增长,而且只适用于常内力单元, 又不能处理变 量连接问题。隋允康 [ 19] 于 1987年采用了长度的无量纲化设计变 量解决了变量连接问题,又采用了两节单元模型, 在连续最优解近 旁,对每根杆只选择两个许用离散值, 并利用每根杆的两个变量相 加为 1 的条件消除一个变量,再通过迭代计算, 解决了离散集元素 多、设计变量增加的困难。进而采用两节无限小单元的无穷组合将 ·7·第 1章 绪 论 该法推广到变内力有限元的离散变量优化中。 近似算法的优点是能够估计可行解与全局最优解的最大误差 和减少计算时间,可解较大规模的问题。如果最大误差在工程的许 用范围之内,则不失为一种实用的好方法。但当误差较大而又没有 改进可行解的办法时,又成为这种算法的一个缺点; 如果误差虽较 大, 但有改进可行解的方法以减小其误差时, 那么, 这种算法就显 示出优越性了。 启发式算法。连续优化解的圆整法的优点是可以利用比较成 熟的连续变量的优化方法,其缺点是其解不是离散变量的最优解, 甚至有时相差甚远。序列连续变量优化——分支定界法, 优点是当 解稳定与收敛时可以求得离散局部最优解, 因为序列连续变量优 化算法并没有可求得全局最优解的证明。缺点是工作量大, 解题规 模受到分支定界法的限制。序列连续变量优化算法可能出现解的 振荡和不收敛。 还 有另一种启发式算法。该法首先由塞拉 ( Cella) 和苏沙 (Soosar) [ 20]于 1973 年提出。他们根据一个假定:单根杆件面积的 增加将使整个结构的位移和本杆自身的应力减小,反之则反。优化 时从目标函数下限所对应的一不可行点出发,每前进一步, 以目标 函数增加最小为原则,增加一根杆或一组杆的面积(从许用离散集 中的下界逐次增加)以满足当前的最严约束, 反复进行直到前后两 次优化值的相对误差小于一给定的小值 ε为止。该法的不足之处 是: ①这个假定对单根杆来说不一定正确, 改为一组杆(采用变量 连接时)通常是对的; ②没有考虑约束变化的影响, 这样从不同的 初始点出发会得到不同的优化解。崔(Choi)等人 [ 21]于 1991年提 出了两级优化法, 即单元级的满应力优化和结构级的满位移优化 法。两级优化分别独立地进行,先进行满应力优化, 然后检查位移 约束,如违反位移约束则进行满位移优化, 增大对减小位移贡献最 大的杆件截面直到满足位移约束为止。该法基本上属于准则法, 而 ·8· 离散变量结构优化设计 且 两 级优化 之间 缺乏协 调, 无 法保 证得到 的是最 优解。陈 (Chan) [ 22]于 1992年研究了高层钢结构的优化问题, 首先用准则 法求连续变量最优解,再以目标函数增加最小为原则, 寻找一个或 几个变量,向上圆整为许用的离散值, 并取其为定值,反复进行, 直 到所有变量皆取得许用离散值之后为止。显然该法不考虑截面变 化后内力重分布对约束条件和目标函数的影响, 而且始终采用向 上圆整的方法,结果会使所得的解远离最优解。 近些年来发展起来的遗传算法 (GA ) [ 23~27] 也属于启发式算 法。它不能证明肯定会求得全局最优解, 但逼近全局最优解的性质 是该法的优点。另外, 本法对约束函数是设计变量的显函数的问题 比较有效。它在结构优化设计中的致命缺点是结构重分析次数太 多(对超静定问题, 约束函数是设计变量的隐函数) , 就连对较小规 模、离散集元素较少的截面优化问题, 一个群体至少需要 10个个 体, 共需经过 30代的筛选以寻求最优解, 这样就需要 300 次结构 重分析。设计变量较多、规模较大、离散集元素较多的问题, 一般一 个群体可能需要 50个甚至更多个个体, 共需 50 甚至更多代的筛 选,这样就需 2500 甚至更多次重分析。即使利用近似重分析技术 和缩小各变量的相应可行集,也还是不能从根本上消除这一缺点。 模拟退火法( Simulated Annealing) [ 28~ 33] , 是模拟固体退火过程, 利用 Metroplis准则的一种寻优方法。在连续最优解近旁, 每个变 量取 3 个离散值,共有 3n(n为变量数)个组合, 采用随机搜索法从 3n个组合中寻求最优解,效率也是很低的。另外, 在搜索过程中需 要确定目标值的下降比率,这要根据冷却进度表中相应的参数来 确定, 但这些参数的选取又无确定的准则;还有, 试探数达到多少 开始降低目标值及其控制上限也都难以确定, 通常是靠经验确定 的,这是该法的另两个难点。史密特( Schmit)和傅录利(Fleury)的 对偶规划法 [ 34] , 其优点是可利用成熟的连续优化方法, 避免直接 解原离散变量优化问题。其主要缺点是用对偶规划求解非凸规划 ·9·第 1章 绪 论 问题,必然存在对偶间隙, 难以求得原问题的离散优化解。罚函数 法 [ 35] ,其主要缺点是离散变量违反了无约束优化问题中所隐含着 的变量连续性的假定, 一维搜索不适合于含罚因子的具有离散变 量的目标函数,因为有不连续导数和陡谷的存在, 接近最优解时病 态条件严重, 收敛性强烈地依赖于罚因子的选择 [ 36] , 而且往往收 敛于局部最优解。离散复形法 [ 36] ,它是

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